یک فرد ( مثل خود من ) چگونه میتواند کاری برای ریاضیات انجام دهد؟
من ریاضیات را اینجوری فهمیدم که توسط افرادی چون گاوس و اویلر ساخته شده و در حالیکه امکانپذیر است که کار آنها را یادگرفت و فهمید، اما چیز جدیدی با اینکار ایجاد نمیشود. فردی میتواند کتاب آنها را به زبان امروزی دوباره نویسی کند و یا دیگران را راهنمایی کند تا آن را بفهمند اما من هرگز معتقد نیستم که این کار خاص ریاضیدان باشد، که کار او خلق ریاضیات اصیل است. به نظر متقاعد کننده است که با وجود افراد باهوشی که سخت دارند بر روی ریاضیات کار میکنند، چیزی برای شخصی مثل من باقی بماند که انجام دهم.[…] به هرحال دوست دارم که پاسخهایی به این سوالم بدهم. ادامه مطلب ...
در نوشته قبلی این سوال مطرح شد که آیا میتوان برای یک مفهوم ریاضی خصوصیت یا ویژگی ای را در شناخت انسان یافت که بواسطه آن بتوان مفهوم را ساده تر بیان کرد و آن را انتقال داد. از زاویه دیگر با توجه به روشهای مختلفی که میتواند برای فهمیدن یک مفهوم ریاضی وجود داشته باشد میتوان عنصری بنیادین در شناخت انسان یافت که همه آن روشها و شهودها را در زیر سایه خود قرار دهد؟
Rafael Nunez در مقاله Do Real numbers really move? با مثالهایی که از حساب دیفرانسیل از جمله حد و پیوستگی می آورد نشان میدهد که در توضیح این مفاهیم از تعابیری چون میل کردن، نزدیک شدن و نظایر آنها که واجد نوعی حرکت در مفاهیم هست، استفاده میشود. اما آیا اعداد حقیقی واقعا حرکت میکنند؟ مثلا وقتی حد یک تابع که متغیر به عددی میل میکند بررسی میشود انگار که اعداد در حال حرکت هستند. این حرکت کردن و یا حرکت دادن اعداد از کجا در این مفاهیم ظاهر میشوند؟ فرمالیزم تعریف این مفاهیم استاتیک است و حرکتی را در خودش نشان نمیدهد. پس این دینامیک از کجا می آید؟
ادامه مطلب ...ارتباطات بین ریاضی و واقعیت فیزیکی چیست-"کاربرد غیر قابل توضیح ریاضی" the unreasonable utility of mathematics؟
Ennio de Giorgi: من فکر میکنم که دلیل کاربردی بودن ریاضیات در واقعیت-نه صرفا در فیزیک، بلکه در زیست شناسی، اقتصاد و غیره- یک راز است. برای من مهمترین یادآوری کننده در کتاب امثال –حضرت سلیمان- است که در جای مشخصی میگوید که خداوند در هنگام خلق جهان، حکمت(که گسترده تر از ریاضیات است ) بکار گرفته است و این حکمت توسط مردانی که در جستجوی آن باشند و به آن عشق بورزند، یافته میشود. ریاضیات یکی از عظیم ترین نمودهای عشق به حکمت است. از سویی هیچ مرزی در فکر و خلاقیت ریاضی نیست و از سویی دیگر این حقیقت هست که جهان از چیزهایی پیدا و ناپیدا ساخته شده که ریاضیات علم منحصربفردی است که این قابلیت را دارد که از مشاهده چیزهای پیدا به تصور چیزهای ناپیدا برود. این شاید راز قدرت ریاضیات باشد. ادامه مطلب ...
A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street. David Hilbert
یک قضیه ریاضی کامل تلقی نمیشود تا زمانی که آن را به قدری واضح کنید که بتوانید به اولین فردی که در خیابان دیدید، توضیح دهید.دیوید هیلبرت از قول یک ریاضیدان فرانسوی
قبلا در مورد روشهای مختلفی که میتوان مفهومی از ریاضی را نسبتا درک کرد، صحبت شد. هر فرد واجد اطلاعاتی از قبل هست که از آن در جهت درک یک مفهوم ریاضی بهره میبرد. مثلا فردی که دیدی تجربی دارد از روشهای مختلفی که برای درک مشتق وجود دارد دید میکروسکوپی را شاید بیشتر میپسندد. حالا محیطی را در نظر بگیرید که افراد با پس زمینه های شناختی مختلف قصد دارند مشتق را درک کنند. چگونه میتوان متناسب با هر فرد مفهوم مشتق را ارائه داد؟ شاید بهترین حالت برای انتقال مفاهیم ریاضی از طریق ارتباط فرد با فرد باشد. اما آیا میتوان درک یا شهودی از مفهوم مشتق ارائه داد که قابل درک برای عموم باشد و از آن پایه ای ساخت برای گام برداشتن به سوی مفهوم دقیقتر مشتق؟ همینطور از چه واسطه های ارتباطی میتوان برای ارتباط و انتقال مفاهیم بهره برد؟ آیا صرفا استدلال و منطق (فرمالیزم) ابزارهای ارتباطی برای ریاضیات است؟ آیا میتوان چیزی درونی و پایه ای را در ادراک انسانها یافت که مفهوم مشتق و البته دیگر مفاهیم ریاضی صورتی از آن باشد؟
در نوشته قبلی از روشهای متعددی که هر فرد برای درک یک مفهوم بهره میگیرد و با ذکر مثالی از قابلیتهای شهودی (بهتر است بگوییم ادراکی) مختلفی که وام میگیرد، صحبت شد. سوال شد که هر یک از این قابلیتها چه نقشی در ادراک یک مفهوم میتوانند بازی کنند. شاید بهتر باشد که تعدادی از این قابلیتها را بشناسیم. برمیگردیم به مقاله Thurston ، او شش بعد ادارکی مهمتر را که در درک مفاهیم ریاضی استفاده میکنیم لیست میکند:
ادامه مطلب ...