پرورش عادات ذهنی در ریاضی

در نوشته قبلی درباره عادت صحبت کردیم و اینکه نظام آموزشی میتواند دانش آموزانش رابه روشهایی عادت دهد. این عادت دادنها با تکیه بر تواناییهای ذهنی و فکری را میتوان از چند بعد بررسی کرد:

درون ریاضی: عادتهایی که فرد را میتواند به سمت حرفه ای شدن در ریاضی سوق دهد. از این منظر مجموعه عادات و روشهایی که ریاضیدان انجام میدهد تا فعالیتش را پیش ببرد بررسی میشود و سعی میشود که فرد در طول دوره تحصیل با استفاده از مسائل و تمارین مستمر ریاضی این عادتها را در خودش ملکه کند.  مثلا تصور کنید دانش آموزی که حساب دیفرانسیل را محاسبه حد و  مشتق وانتگرال میداند تا فردی که آن را بررسی نرخ تغییر تفسیر میکند. اینجا علاوه بر تمرینهای مستمر نوعی پویایی در تفکر و انتقال آن تصویر بزرگ نیز باید لحاظ شود.

عادت

روشی که زندگی میکنیم ما را به عادتهایی وا میدارد. اینکه ورزش کنیم، ساعاتی را به مطالعه اختصاص دهیم، اینکه ساعتها پای تلویزیون بنشینیم و ... ما را به خصوصیاتی عادت میدهد که ممکن است که در تمام طول زندگی به آن وابسته باشیم. حالا این عادات میتواند عادات خوبی باشد که بواسطه آن مدام پیشرفت کنیم و یا انواعی که در جهت عکس سوق پیدا کنیم.

فعالیت در ریاضی را میتوان در دو سطح بررسی کرد: سطح فردی و سطح اجتماعی.

در سطح فردی در ذهنمان مسائل را بررسی میکنیم، با آن کلنجار میرویم تا آن را بفهمیم و راه حلی برای آن بیابیم. در این فرآیند از تکنیکهای مختلفی بهره میگیریم مثل: به دنبال الگو بودن، کلی کردن مساله و انتزاعی کردن آن، یافتن مثالهای ملموس، یافتن تناسبات و این همانیها و ... . خروجی این فرآیندیک سیستم است ( نه بعنوان یک مجموعه کامل بلکه مجموعه به هم پیوسته حداکثری از اجزاء). این سیستم حاصل تفکر فردی ماست و از ویژگیهای آن این است که تواناییهای ذهنیمان با یک مساله گره خورده و تقویت و پرورش یافته بصورتی که اگر مساله را کنار بگذاریم ما دارای تواناییهای بهتری نسبت به قبل شده ایم.

در سطح اجتماعی هم این تواناییهای ذهنی را با دیگران به اشتراک میگذاریم، داریم درباره یک مساله بحث میکنیم اما گویی مشغول بحث روی تواناییهای ذهنی و انحاء فهم هستیم و مساله ریاضی بهانه است. ضمن اینکه از خلال این مباحث  روشهای ارتباطات و انتقال مفهوم را نیز فرا میگیریم.

اینها عادتهایی است که میتوانیم در ریاضیات بدست آوریم و آنها را پرورش دهیم. اما آیا قادر هستیم این تواناییهارا  در دیگر شئون زندگی نیز بکار بگیریم و از آنها برای زندگی بهره بگیریم؟

دستگاه آموزشی ما چه عادتهایی را به دانش آموزان و دانشجویانش یاد میدهد؟

آیا خروجی دستگاهی که روشهای تستی را ترویج میکند و به آن بها میدهد افرادی خواهند بود که در زمینه علم و تکنولوژی با دید کل نگر و سیستماتیک به موضوعات بنگرند و مسائل خود و جامعه را حل کنند، تا اینکه خواسته باشند به مانند روشهای تستی به دنبال منافع خود باشند؟

عمقی خواندن ریاضی

داشتم در مورد فارغ التحصیلان رشته ریاضی که نمی توانند کار دانشگاهی و تحقیقاتی مرتبط با رشته شان بیابند فکر میکردم و اینکه این افراد با تواناییهایی که در ریاضیات بدست می آورند ( از جمله قدرت تجزیه و تحلیل، خلاقیت در حل مساله، توانایی تعمیم دادن و جامع کردن مسائل و...) می توانند در هر زمینه کاری دیگر منشا اثر باشند. اما کامنتی از John Baez در نوشته "عمیق خواندن ریاضی چقدر ارزشمند است؟" توجهم را جلب کرد. 

ریاضیات و عابر در خیابان

A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street. David Hilbert

یک قضیه ریاضی کامل تلقی نمیشود تا زمانی که آن را به قدری واضح کنید که بتوانید به اولین فردی که در خیابان دیدید، توضیح دهید.دیوید هیلبرت از قول یک ریاضیدان فرانسوی

قبلا در مورد روشهای مختلفی که میتوان مفهومی از ریاضی را نسبتا درک کرد، صحبت شد. هر فرد واجد اطلاعاتی از قبل هست که از آن در جهت درک یک مفهوم ریاضی بهره میبرد. مثلا فردی که دیدی تجربی دارد از روشهای مختلفی که برای درک مشتق وجود دارد دید میکروسکوپی را شاید بیشتر میپسندد. حالا محیطی را در نظر بگیرید که افراد با پس زمینه های شناختی مختلف قصد دارند مشتق را درک کنند. چگونه میتوان متناسب با هر فرد مفهوم مشتق را ارائه داد؟ شاید بهترین حالت برای انتقال مفاهیم ریاضی از طریق ارتباط فرد با فرد باشد. اما آیا میتوان درک یا شهودی از مفهوم مشتق ارائه داد که قابل درک برای عموم باشد و از آن پایه ای ساخت برای گام برداشتن به سوی مفهوم دقیقتر مشتق؟ همینطور از چه واسطه های ارتباطی میتوان برای ارتباط و انتقال مفاهیم بهره برد؟ آیا صرفا استدلال و منطق (فرمالیزم) ابزارهای ارتباطی برای ریاضیات است؟  آیا میتوان چیزی درونی و پایه ای را در ادراک انسانها یافت که مفهوم مشتق و البته دیگر مفاهیم ریاضی صورتی از آن باشد؟

روشهای شناخت یک مفهوم ریاضی

یک مفهوم ریاضی به چند طریق فهمیده میشود؟

William Thurston در مقاله on Proof and Progress in Mathematics مثالی از مفهوم مشتق و صورتهای مختلف فهم آن را بیان میکند: