در نوشته قبلی درباره عادت صحبت کردیم و اینکه نظام آموزشی میتواند دانش آموزانش رابه روشهایی عادت دهد. این عادت دادنها با تکیه بر تواناییهای ذهنی و فکری را میتوان از چند بعد بررسی کرد:
درون ریاضی: عادتهایی که فرد را میتواند به سمت حرفه ای شدن در ریاضی سوق دهد. از این منظر مجموعه عادات و روشهایی که ریاضیدان انجام میدهد تا فعالیتش را پیش ببرد بررسی میشود و سعی میشود که فرد در طول دوره تحصیل با استفاده از مسائل و تمارین مستمر ریاضی این عادتها را در خودش ملکه کند. مثلا تصور کنید دانش آموزی که حساب دیفرانسیل را محاسبه حد و مشتق وانتگرال میداند تا فردی که آن را بررسی نرخ تغییر تفسیر میکند. اینجا علاوه بر تمرینهای مستمر نوعی پویایی در تفکر و انتقال آن تصویر بزرگ نیز باید لحاظ شود.
ادامه مطلب ...روشی که زندگی میکنیم ما را به عادتهایی وا میدارد. اینکه ورزش کنیم، ساعاتی را به مطالعه اختصاص دهیم، اینکه ساعتها پای تلویزیون بنشینیم و ... ما را به خصوصیاتی عادت میدهد که ممکن است که در تمام طول زندگی به آن وابسته باشیم. حالا این عادات میتواند عادات خوبی باشد که بواسطه آن مدام پیشرفت کنیم و یا انواعی که در جهت عکس سوق پیدا کنیم.
فعالیت در ریاضی را میتوان در دو سطح بررسی کرد: سطح فردی و سطح اجتماعی.
در سطح فردی در ذهنمان مسائل را بررسی میکنیم، با آن کلنجار میرویم تا آن را بفهمیم و راه حلی برای آن بیابیم. در این فرآیند از تکنیکهای مختلفی بهره میگیریم مثل: به دنبال الگو بودن، کلی کردن مساله و انتزاعی کردن آن، یافتن مثالهای ملموس، یافتن تناسبات و این همانیها و ... . خروجی این فرآیندیک سیستم است ( نه بعنوان یک مجموعه کامل بلکه مجموعه به هم پیوسته حداکثری از اجزاء). این سیستم حاصل تفکر فردی ماست و از ویژگیهای آن این است که تواناییهای ذهنیمان با یک مساله گره خورده و تقویت و پرورش یافته بصورتی که اگر مساله را کنار بگذاریم ما دارای تواناییهای بهتری نسبت به قبل شده ایم.
در سطح اجتماعی هم این تواناییهای ذهنی را با دیگران به اشتراک میگذاریم، داریم درباره یک مساله بحث میکنیم اما گویی مشغول بحث روی تواناییهای ذهنی و انحاء فهم هستیم و مساله ریاضی بهانه است. ضمن اینکه از خلال این مباحث روشهای ارتباطات و انتقال مفهوم را نیز فرا میگیریم.
اینها عادتهایی است که میتوانیم در ریاضیات بدست آوریم و آنها را پرورش دهیم. اما آیا قادر هستیم این تواناییهارا در دیگر شئون زندگی نیز بکار بگیریم و از آنها برای زندگی بهره بگیریم؟
دستگاه آموزشی ما چه عادتهایی را به دانش آموزان و دانشجویانش یاد میدهد؟
آیا خروجی دستگاهی که روشهای تستی را ترویج میکند و به آن بها میدهد افرادی خواهند بود که در زمینه علم و تکنولوژی با دید کل نگر و سیستماتیک به موضوعات بنگرند و مسائل خود و جامعه را حل کنند، تا اینکه خواسته باشند به مانند روشهای تستی به دنبال منافع خود باشند؟
در نوشته قبلی این سوال مطرح شد که آیا میتوان برای یک مفهوم ریاضی خصوصیت یا ویژگی ای را در شناخت انسان یافت که بواسطه آن بتوان مفهوم را ساده تر بیان کرد و آن را انتقال داد. از زاویه دیگر با توجه به روشهای مختلفی که میتواند برای فهمیدن یک مفهوم ریاضی وجود داشته باشد میتوان عنصری بنیادین در شناخت انسان یافت که همه آن روشها و شهودها را در زیر سایه خود قرار دهد؟
Rafael Nunez در مقاله Do Real numbers really move? با مثالهایی که از حساب دیفرانسیل از جمله حد و پیوستگی می آورد نشان میدهد که در توضیح این مفاهیم از تعابیری چون میل کردن، نزدیک شدن و نظایر آنها که واجد نوعی حرکت در مفاهیم هست، استفاده میشود. اما آیا اعداد حقیقی واقعا حرکت میکنند؟ مثلا وقتی حد یک تابع که متغیر به عددی میل میکند بررسی میشود انگار که اعداد در حال حرکت هستند. این حرکت کردن و یا حرکت دادن اعداد از کجا در این مفاهیم ظاهر میشوند؟ فرمالیزم تعریف این مفاهیم استاتیک است و حرکتی را در خودش نشان نمیدهد. پس این دینامیک از کجا می آید؟
ادامه مطلب ...A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street. David Hilbert
یک قضیه ریاضی کامل تلقی نمیشود تا زمانی که آن را به قدری واضح کنید که بتوانید به اولین فردی که در خیابان دیدید، توضیح دهید.دیوید هیلبرت از قول یک ریاضیدان فرانسوی
قبلا در مورد روشهای مختلفی که میتوان مفهومی از ریاضی را نسبتا درک کرد، صحبت شد. هر فرد واجد اطلاعاتی از قبل هست که از آن در جهت درک یک مفهوم ریاضی بهره میبرد. مثلا فردی که دیدی تجربی دارد از روشهای مختلفی که برای درک مشتق وجود دارد دید میکروسکوپی را شاید بیشتر میپسندد. حالا محیطی را در نظر بگیرید که افراد با پس زمینه های شناختی مختلف قصد دارند مشتق را درک کنند. چگونه میتوان متناسب با هر فرد مفهوم مشتق را ارائه داد؟ شاید بهترین حالت برای انتقال مفاهیم ریاضی از طریق ارتباط فرد با فرد باشد. اما آیا میتوان درک یا شهودی از مفهوم مشتق ارائه داد که قابل درک برای عموم باشد و از آن پایه ای ساخت برای گام برداشتن به سوی مفهوم دقیقتر مشتق؟ همینطور از چه واسطه های ارتباطی میتوان برای ارتباط و انتقال مفاهیم بهره برد؟ آیا صرفا استدلال و منطق (فرمالیزم) ابزارهای ارتباطی برای ریاضیات است؟ آیا میتوان چیزی درونی و پایه ای را در ادراک انسانها یافت که مفهوم مشتق و البته دیگر مفاهیم ریاضی صورتی از آن باشد؟
در نوشته قبلی از روشهای متعددی که هر فرد برای درک یک مفهوم بهره میگیرد و با ذکر مثالی از قابلیتهای شهودی (بهتر است بگوییم ادراکی) مختلفی که وام میگیرد، صحبت شد. سوال شد که هر یک از این قابلیتها چه نقشی در ادراک یک مفهوم میتوانند بازی کنند. شاید بهتر باشد که تعدادی از این قابلیتها را بشناسیم. برمیگردیم به مقاله Thurston ، او شش بعد ادارکی مهمتر را که در درک مفاهیم ریاضی استفاده میکنیم لیست میکند:
ادامه مطلب ...