روشهای شناخت یک مفهوم ریاضی

یک مفهوم ریاضی به چند طریق فهمیده میشود؟

William Thurston در مقاله on Proof and Progress in Mathematics مثالی از مفهوم مشتق و صورتهای مختلف فهم آن را بیان میکند: 

 

1. بر اساس بینهایت کوچکها (Infintesimal)

2. سمبولیک: بر اساس فرمولهای مشتق برای توابع مختلف مثلا مشتق sin x برابر cos x میباشد.

3. منطقی: بر پایه تعریف دلتا-اپسیلون

4. هندسی: شیب خط مماس بر منحنی اگر که تابع مشتق داشته باشد.

5. نرخ تغییر: سرعت لحظه ای تابع f بر حسب زمان

6.تقریب: مشتق تابع در یک نقطه بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.

7.میکروسکوپی: مشتق یک تابع محدوده ای است که شما با میکروسکوپ با بزرگنماییهای بالا و بالاتر مینگرید.

و ....

این لیست ادامه می یابد و محدودیتی برای آن وجود ندارد. +

مثال دیگر میتواند مفهوم اعداد منفی باشد:

1.بر اساس اصل جفت آفرینی : برای هر چیزی جفتی وجود دارد و جفت عدد مثبت، عدد منفی است. شاید این مورد بی معنی بنظر برسد اما مواردی از این دست زیاد وجود دارد که هر فرد برای درک یک مفهوم از آنها بهره میگیرد.

2.تقارن هندسی: گسترش دادن محور اعداد به سمت چپ.

3.بر پایه ساختار جبری گروه

هر کدام از این موارد روشهایی برای فهمیدن است. شاید هم بتوان گفت روشی برای توجیه یک مفهوم. واضح است که هر یک از اینها از یک سری ادراکات قبلی وام گرفته شده است که خود آن نیز نیاز به توجیه دارد. هر چقدر که این روشها به سوی دقیقتر شدن پیش میرود اصولی که استفاده شده تا آنها نتیجه شوند و همچنین خواستگاه شهودی آنها،  روشنتر میگردد. در واقع تلاش ما برای دقیقتر کردن یک مفهوم (به معنای کاملتر فهمیدن آن مفهوم ) سفری است از ابعاد مختلف شهودمان که هر یک به فرمی مفهوم را میشناسد به مقصد شناختی ای که فرم دقیق مفهوم نماینده آن است.

اما حد و مرز شهود ما تا به کجاست؟ و هر یک از قابلیتهای شهودی ما تا چه اندازه در تکمیل یک مفهوم نقش دارد؟